試験本番において「忘れたらその場で10秒で作る」ための思考アルゴリズムを整理します。和積の公式の導出において、ゼロから複雑な計算をする必要はありません。すべては「加法定理の和と差」からスタートします。
ステップ1：土台となる加法定理のペアを縦に並べる
まず、すべての源流である加法定理 導出の記憶を呼び起こし、サイン同士の和を求めたいなら $\sin$ の加法定理を、コサイン同士なら $\cos$ の加法定理を頭の中（または計算用紙の片隅）に2行並べます。
① $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
② $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$
ステップ2：足し算・引き算で「積和の公式」を中継する
この2式の和をとることで、後ろの項（$\cos\alpha \sin\beta$）が相殺され、次の関係式が瞬時に生まれます。これが積和の公式 作り方の基本原理です。
$\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin\alpha \cos\beta$
ステップ3：角度を「$A$ と $B$」に置換して完成
ここで、左辺の合成角をシンプルな2つの角 $A, B$ に変換します。
$\alpha + \beta = A$、$\alpha - \beta = B$ と置くと、2式を足して2で割ることで $\alpha = \frac{A+B}{2}$、引いて2で割ることで $\beta = \frac{A-B}{2}$ が得られます。これを代入するだけで、加法定理から和積公式への導出が完了します。
$\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
この一連の流れに要する時間は、慣れればわずか10秒前後です。頭の中で「加法定理を足して2倍の積を作る」「角度は平均（$\frac{A+B}{2}$）と半分の差（$\frac{A-B}{2}$）を放り込む」というイメージを固定化するだけで、記憶への依存度はゼロになります。
