ここからは、定期テストから高校入試・高校数学（数学I・Aの空間図形）で実際に出題される典型問題を用い、解法のステップを実証します。
例題1：基本の直角三角錐（中学1年レベル）
【問題】 底面が直角をはさむ2辺の長さ $4\,\text{cm}, 6\,\text{cm}$ の直角三角形で、高さが $5\,\text{cm}$ であり、底面の直角の頂点から垂直に立ち上がっている三角錐の表面積を求めなさい（側面のうち2面はそれぞれ底辺 $4\,\text{cm}$・高さ $5\,\text{cm}$、底辺 $6\,\text{cm}$・高さ $5\,\text{cm}$ の直角三角形、残る1面は底辺 $\sqrt{52}\,\text{cm}$、高さ $5\,\text{cm}$ ではない一般的な三角形とする）。
【ステップ解説】
このような直角が集まる三角錐では、各面を展開して1面ずつ確実に計算します。
- 底面積： $\frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12\,\text{cm}^2$
- 側面A（直角三角形）： $\frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10\,\text{cm}^2$
- 側面B（直角三角形）： $\frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15\,\text{cm}^2$
- 側面C（斜めの面）： この面も三平方の定理と三垂線の定理により直角三角形となる場合、底辺 $\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}$、高さ $5$ ではなく、各辺から面積を割り出します。仮に側面Cの面積が $3\sqrt{41}\,\text{cm}^2$ などと与えられている場合、合計は $12 + 10 + 15 + (\text{側面C})$ となります。
各面の三角形の面積を個別に足し算することが基本です。
例題2：一辺が $6\,\text{cm}$ の正四面体の表面積（高校入試・高校数学レベル）
【問題】 すべての辺の長さが $6\,\text{cm}$ である正四面体の表面積を求めなさい。
【ステップ解説】
正四面体は4つの面がすべて合同な「1辺 $6\,\text{cm}$ の正三角形」です。
- 正三角形の1つの頂点から底辺に垂線を下ろすと、底辺を2等分（$3\,\text{cm}$）し、特別な直角三角形（$1 : 2 : \sqrt{3}$）ができます。
- 正三角形の高さ ＝ $6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\,\text{cm}$
- 正三角形1面の面積 ＝ $\frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\,\text{cm}^2$
- 正四面体の全表面積 ＝ $9\sqrt{3} \times 4 = \mathbf{36\sqrt{3}\,\text{cm}^2}$
なお、正四面体の表面積公式 $S = \sqrt{3}a^2$ を知っていれば、$\sqrt{3} \times 6^2 = 36\sqrt{3}\,\text{cm}^2$ とわずか3秒で計算可能です。
例題3：正三角錐の「斜高」を三平方の定理で求める応用問題
【問題】 底面の一辺が $8\,\text{cm}$ の正三角形で、側面の斜辺の長さがすべて $7\,\text{cm}$ である正三角錐の表面積を求めなさい。
【ステップ解説】
- 底面積の計算：
1辺 $8\,\text{cm}$ の正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 = 16\sqrt{3}\,\text{cm}^2$ です。 - 側面の高さ（斜高 $h_s$）の算出：
側面の二等辺三角形（等辺 $7\,\text{cm}$、底辺 $8\,\text{cm}$）に着目します。頂点から底辺へ垂線を下ろすと底辺は $4\,\text{cm}$ ずつに2等分されます。
直角三角形に三平方の定理を適用します。
$h_s^2 + 4^2 = 7^2$
$h_s^2 + 16 = 49$
$h_s^2 = 33 \implies h_s = \sqrt{33}\,\text{cm}$ - 側面3面の面積合計：
二等辺三角形1面の面積 ＝ $\frac{1}{2} \times 8 \times \sqrt{33} = 4\sqrt{33}\,\text{cm}^2$
側面3面分 ＝ $4\sqrt{33} \times 3 = 12\sqrt{33}\,\text{cm}^2$ - 表面積の合算：
全表面積 ＝ $\mathbf{16\sqrt{3} + 12\sqrt{33}\,\text{cm}^2}$
