四次方程式 $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ ($a \neq 0$) の一般的な解き方を確立したのは、ジェロラモ・カルダノの弟子であったロドヴィコ・フェラーリ（1522–1565）です。彼が編み出したアプローチは、力任せに解くのではなく、式変形によって「未知の補助変数」を導入し、問題をより低次の方程式へと落とし込む鮮やかなものでした。
その導出プロセスは、大きく分けて以下の3ステップで進行します。
ステップ1：3次の項を消去する（チルンハウス変換）
まず、両辺を最高次係数 $a$ で割り、$x = y - \frac{b}{4a}$ と変数変換します。この平行移動により、3次の項が美しく相殺され、次の「縮約四次方程式（窪み四次方程式）」が得られます。
$$y^4 + py^2 + qy + r = 0$$
ステップ2：新たなパラメータ $u$ を導入し、両辺を完全平方式にする
式を $y^4 + py^2 = -qy - r$ と移項し、左辺に $(y^2 + p)^2$ を作ることを目指します。ここでフェラーリは、新たな補助変数 $u$ を導入し、次のように変形しました。
$$(y^2 + p + u)^2 = 2u y^2 - qy + (u^2 + 2pu + p^2 - r)$$
右辺は $y$ に関する二次式です。この右辺が $y$ の完全平方式（$(Ay + B)^2$ の形）になるための条件は、右辺の四次方程式の判別式がゼロになること、すなわち $D = (-q)^2 - 4(2u)(u^2 + 2pu + p^2 - r) = 0$ です。
ステップ3：三次方程式（分解方程式）へ帰着し、カルダノの公式を適用する
この判別式を整理すると、$u$ に関する三次方程式が得られます。
$$8u^3 + 16pu^2 + 8(p^2 - r)u - q^2 = 0$$
三次方程式であれば、先行して発見されていたカルダノの公式を用いて代数的に解くことができます。得られた $u$ の実数解を1つ選んで元の式に代入すれば、両辺が完全平方式となり、最終的に2つの二次方程式へと分解され、4つの複素数解がすべて求まります。
