理解を確固たるものにするため、入試典型題を用いた2直線のなす角の例題解説を両ルートで行います。問題の条件に応じて、どのように思考の舵を切るべきかをステップバイステップで確認していきましょう。
【例題】次の2直線のなす鋭角 $\theta$ を求めよ。
直線 $L_1: y = 3x - 1$
直線 $L_2: y = \frac{1}{2}x + 2$
【アプローチA：2直線のなす角 tan（加法定理）を用いた解法】
ステップ1：2直線の傾きを確認する。
$L_1$ の傾きは $m_1 = 3$、$L_2$ の傾きは $m_2 = \frac{1}{2}$ である。
それぞれの直線が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\alpha, \beta$ とおくと、$\tan\alpha = 3$、$\tan\beta = \frac{1}{2}$ と表せる。
ステップ2：加法定理の公式に代入する。
$$\tan\theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right| = \left|\frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{2}}\right|$$ ステップ3：繁分数を整理する。
分子は $3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$、分母は $1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$。
したがって、$\tan\theta = \left|\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}}\right| = 1$。
$\theta$ は鋭角（$0^\circ < \theta < 90^\circ$）であるから、$\theta = 45^\circ$（または $\frac{\pi}{4}$）と求まる。
【アプローチB：2直線のなす角 ベクトルを用いた解法】
ステップ1：直線の方程式を一般形に整理し、法線ベクトルを抽出する。
$L_1: 3x - y - 1 = 0 \longrightarrow \vec{n}_1 = (3, -1)$
$L_2: x - 2y + 4 = 0 \longrightarrow \vec{n}_2 = (1, -2)$
ステップ2：内積と大きさを計算する。
内積：$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 3 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) = 3 + 2 = 5$
大きさ：$|\vec{n}_1| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$
大きさ：$|\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$
ステップ3：公式に代入して余弦を求める。
$$\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|} = \frac{5}{\sqrt{10}\sqrt{5}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ 鋭角条件より、$\theta = 45^\circ$。
このように、どちらの道筋を辿っても同一の結論に到達します。しかし、傾きが最初から $y = mx + n$ の形式であればアプローチAがわずかに手数を減らせるのに対し、分母に複雑な根号が含まれる場合や最初から一般形で提示されている問題では、アプローチBの方が圧倒的にケアレスミスを抑制できることが実感できるはずです。
